Découverte de l'évection de la Lune

Par Claude Ptolémée ( 2^e siècle ap. JC )

L'évection est un phénomène oscillatoire qui affecte la trajectoire de la Lune autour de sa position moyenne.
Elle est due à l'influence du Soleil sur le mouvement de la Lune.
L'axe de la trajectoire oscille autour d'un point qui n'est pas le centre de symétrie et cela entraîne une variation périodique
de l'excentricité.

Les travaux de Ptolémée

On trouve la totalité des travaux sur l'évection dans le livre IV de " La Syntaxe Mathématique ".
On peut consulter et télécharger l'ouvrage sur le site Gallica de la Bibliothèque Nationale
à l'adresse : http://gallica.bnf.fr/ .
Demandez le document original en grec traduit par l'abbé Alma.
La démostration se trouve au chapitre 10 page 274 et suivantes.
Afin d'éditer des tables lunaires, Ptolémée avait rassemblé et étudié toutes les données numériques concernant les éclipses
de Lune publiées avant lui, en particulier et surtout les résultats des travaux d'Hipparque.
En comparant avec ses propres travaux et ses interprétations théoriques il a constaté des décalages entre les dates et heures
annoncées par Hipparque pour les éclipses observées ainsi que sur leur durée.
Il en conclut que ces décalages n'étaient pas la conséquence d'erreurs de calcul ou d'observation, mais semblaient être dus à
l'action perturbatrice du soleil sur le mouvement de la Lune.
L'effet perturbateur du Soleil s'annulait lors du passage au périgée ou à l'apogée de la Lune si le Soleil était sur la ligne
des apsides ou en quadrature avec elle.
Il en conclut que le centre de la trajectoire de la Lune décrivait un petit cercle, dont le centre C restait à distance constante
de la Terre mais tournait autour d'elle.
Il calcula les deux périodes de rotation ainsi que la modification correspondante de l'anomalie de la Lune :
L'évection était découverte.

" Ensuite nous ferons voir que la Lune a encore une autre anomalie dans ses distances au Soleil;
que cette seconde est la plus grande lorsque cet astre est dans ses deux quadratures,
mais qu'elle disparait deux fois par mois dans les nouvelles et pleines Lunes. "

Interprétation actuelle de l'anomalie de la Lune

Modèle circulaire simplifié.

La Lune tourne autour de la Terre sur une trajectoire circulaire uniforme avec une période de 27 jours
et 7 heures et 43 minutes.
Sa position est alors donnée par l'expression la plus simple : q = w t
Ce modèle permet de comprendre les phases de la Lune mais ne donne pas sa position précise .

Modèle de Képler.

La Lune décrit une trajectoire elliptique autour de la Terre.
La Terre occupe l'un des foyers de l'ellipse et le mouvement se fait suivant la loi des aires.
( la loi des aires signifie que la surface " balayée " par la droite TL est proportionnelle au temps ) ( fig 2 ).
L'aplatissement de l'ellipse est défini par le rapport OT / OP qu'on appelle l'excentricité e.
On pose souvent OT = c et OP = a d'où : e = c/a = 0,055

On voit bien sur la figure que la distance de la Terre à la Lune n'est pas constante :
La distance au périgée est TP = OP - OT = a - c
La distance à l'apogée est TA = OA + OT = a + c
La distance de la Terre à la Lune varie dans le rapport : ( a + c ) / ( a - c ) = ( 1 + e ) / ( 1 - e )
Le diamètre angulaire de la Lune varie dans le même rapport.

L'angle q appelé anomalie de la Lune est défini par la relation : q = w t + 2e sin wt

Oscillation du périgée : l'évection.

Le centre O de l'ellipse tourne uniformément sur un cercle de centre C en 206 jours.
Le centre C du cercle tourne lui-même autour de la Terre avec une période d'environ 9 ans.
cela entraîne deux conséquences :
- L'excentricité de la trajectoire varie périodiquement :
En effet le grand axe de l'ellipse ne varie pas car il est directement lié à l'énergie mécanique totale de la Lune
qui reste constante au cours du mouvement.
Par contre la distance OT varie ce qui entraîne une variation de l'excentricité e de 0,012 de part et d'autre de la valeur moyenne
( la distance CT reste constante ).
L'excentricité minimale est représentée par la figure 3.
l'excentricité maximale est représentée par la figure 4.

- Le grand axe de l'ellipse oscille autour de la Terre et le périgée passe périodiquement en P₁ et P₂
L'angle a est égal à 12° ( fig 6 )
L'applatissement des ellipses tracées est volontairement très exagéré.
Cette oscillation modifie les temps d'entrée et sortie des éclipses constatés par Ptolémée.

Euler en 1756 montra qu'en première approximation l'anomalie devient :

q = w t + 2e sin wt + 2e a sin ( 2 b - wt )

b est l'angle entre le Soleil, la Terre et la Lune ( fig 7 ).

Si le Soleil est sur la ligne des absides alors b = 0 ou P
Si le Soleil est en quadrature on a 2 b = P
Si enfin la Lune est au périgée ou à l'apogée alors wt = 0 ou P
Les deux termes périodiques disparaissent de l'équation et il ne reste que le premier terme.
C'est bien ce que Ptolémée avait constaté.
Le seul terme q = wt lui suffisait pour déterminer alors la position de la Lune.

" Nous venons de mettre sous les yeux la cause de la différence énoncée, et cette cause nous autorise à choisir de préférence
la quantité anomalistique que nous avons démontrée, pour l'appliquer aux syzygies de la Lune; d'autant plus que ces éclipses
se trouvent concorder parfaitement avec nos hypothèses "